Математические знания

Мне всегда было интересно, что же я должен знать по математике. У меня не было доверия к матмеху, что там меня всему научат, напротив, было смутное ощущение, что надо учиться самому - и по мере сил я восполнял проблемы в своём образовании. А для этого надо знать - в чём же пробелы. Ниже я приведу список известных мне ресурсов, на которых перечислены общеобязательные знания. Можно долго спорить, что же из этого действительно необходимо (и кому!), но не надо. Бытует и не менее справедливое мнение (и в этом нет противоречия), что знать ничего не надо, а если что-то реально понадобится при решении задачки, то выучится гораздо быстрее - в силу внутреннего интереса, а не внешней указки. Во всяком случае, образование - это вторичное занятие по отношению к собственно занятиям математикой.

Из программы М.Вербицкого любой выпускник-математик, мне кажется, должен знать программу школы и первых двух курсов.

Программа М.Вербицкого Источник

Намного более реальная программа, которую стоит всю узнать чем раньше, тем лучше

Программа лиценцината НМУ Источник

Замечательная программа The Qualifying Exam Syllabus Гарварда, в которой по непонятной мне причине отсутствуют диффуры, матфизика и фан, но есть алгебраическая геометрия.

The Qualifying Exam Syllabus Источник

Рекомендации Д.Каледина по основам алгебраической геометрии.

Литература к курсу "Введение в алгебраическую геометрию" Источник

http://mathoverflow.net/questions/53036/books-you-would-like-to-read-if-somebody-would-just-write-them

а также http://mathoverflow.net/questions?sort=votes

и A List of Recommended Books in Topology (http://www.math.cornell.edu/~hatcher/Other/topologybooks.pdf)

Программа М.Вербицкого

M. Verbitsky - MATH CURRICULUM

Математическая программа должна быть устроена так

Почему эта программа такая, а не другая?

Мне не кажется, что все области математики одинаково ценные; я уверен, что самоценности математика сама по себе не имеет. Иначе математика оказывается своего рода сложной интеллектуальной игрой, и мы оказываемся в области, обозначенной Германом Гессе ("Игра в бисер"), где никаких критериев нет вообще - кроме оценки профессионального сообщества. А профессиональное сообщество, что и скрывать, одновременно и коррумпировано, и разобщено. Профессиональное сообщество математиков не имеет единого критерия, а если бы и имело его, это было бы только хуже, наверное, потому что он был бы основан на невнятных властных играх по принципу ты почеши мне, а я почешу тебе, а ля академия наук.

Тем не менее, какие-то области математики претерпевают вполне очевидный расцвет. Ю.И.Манин заметил в конце 1980-х, что 1960-е было 10-летием расцвета для алгебраической топологии, 1970-е - для алгебраической геометрии, 1980-е - для математической физики. В этом смысле, 1980-е длятся до сих пор. Математические идеи, связанные с 1990-ми (зеркальная гипотеза, инварианты Громова-Уиттена, инварианты Зайберга-Уиттена, квантовые когомологии) все происходят из струнной геометрии.

Я думаю, что это не случайно. Математика утеряла общие критерии, потеряв общий контекст; в настоящий момент, гораздо меньше людей понимают, что происходит в науке в целом, чем 20 лет назад, и еще меньше, чем 40 лет назад. В условиях потери абстрактных критериев, единственно эффективным критерием становится утилитарный. Математика лишь постольку интересна, поскольку она связана со струнной теорией; это базовое предположение, которое я не хочу сейчас обсуждать. Релевантность для физики это единственный критерий, который у нас остался; а почти вся математика, относящаяся к физике, относится к струнной геометрии. Этот тезис хорошо подтверждается наблюдением, приведенным выше: (почти) все интересные идеи последних 20 лет связаны с физикой струн.

Желающие следить за математикой (в том смысле, в котором это слово понимается выше) приглашаются на сервер http://arxiv.org, где почти все интересные работы по математикe выкладываются сразу после их написания.

Выше приведенная математическая программа нужна именно для этого. Конечно, не все работы в http://arxiv.org будут немедленно понятны, даже и студенту, сдавшему все экзамены; но объяснить ему, в чем дело, можно будет за полчаса.

Можно, конечно, заниматься математикой и не понимая общего контекста, в котором она существует; но подобные занятия, на мой взгляд, еще больше разрушают общий контекст, тем самым усугубляя размывание критериев, невежество и коррупцию, которые и без того доминируют. Неграмотные занятия профессиональной математикой приносят больше вреда, чем пользы; всех статей все равно никто не прочтет, а большинство статей вообще никто не читает. Написание еще одной бессмысленной статьи затрудняет доступ к статьям осмысленным; в этом смысле, математика 20-30 лет назад была гораздо более внятной и осмысленной наукой, чем сейчас. Наступит такой момент, когда "прогресс" в математике просто остановится, и каждая новая статья будет повторять результаты, уже доказанные кем-то в одной из непрочтенных и забытых статей. Во многих областях науки, такая ситуация имеет место уже сейчас.

Математическое образование в России

Математического образования в России нет.

Я уже 6 лет читаю учебные курсы и лекции в Независимом Университете; общая польза, принесенная этими курсами кому бы то ни было, практически нулевая; по крайней мере студентам-математикам пользы не было никакой. Я буду заниматься этим и дальше, но занятие это очевидно бессмысленное.

Мои скромные педагогические способности тут не при чем; будь я даже и Оскаром Зариски напополам с профессором Яу, у меня ничего не вышло бы. За эти 6 лет я не видел в Москве ни одного студента, который доучился бы до состояния, позволяющего вести научную работу (я видел довольно много хороших молодых ученых - Стефан Немировский, например - но учились они где-то в другом месте; я не знаю где, но точно не у нас). Единственная функция Независимого Университета - поставлять кадры для американских аспирантур; но и с ней он справляется, в последнее время, крайне плохо, поскольку интеллектуальный фонд истощился до полного опустошения и кердыка.

Исторически, в России имели место две параллельные образовательные системы; одна из них - университетская - за 5 лет худо-бедно давала знания, которые следует иметь студенту первого года обучения; она дополняла этот материал абсолютно бессмысленным концептуальным и вычислительным баластом и просто откровенным бредом (учебник Камынина помните?) Даже те знания, которые давались университетской программой, давались ей в виде мало-осмысленных вычислительных рецептов, и в результате понимание студентом сути вещей только затруднялось. Университетская программа выпускала не математика, а калеку, который математикой не мог заниматься уже никогда; если кто-то в результате и становился математикой, то только вопреки тому, чему его учили, а не благодаря этому.

Вторая программа была альтернативой, созданной Гельфандом, Маниным и иже с ними вокруг матшкол, Керосинки и семинаров Гельфанда и Манина; студент, попавший в эту структуру, к 3-4 курсу усваивал материал, соответствующий второму-третьему обучения математике (в смысле выше приводимой программы). Потом он оказывался в состоянии, которое Гельфанд охарактеризовал как бег за трамваем в попытках вскочить на его подножку; ни владения текущей литературой, ни возможности в ней ориентироваться программа Гельфанда и Манина не давала (да и библиотек, доступных студенту Керосинки, не было). Курсов, соответствовавших текущему состоянию науки, на мех-мате не читалось, кроме Манина, который избирал одну определенную область и год-два ею занимался; выпуская каждый раз 3-5 студентов, которые с тех пор и до самой смерти занимаются именно этим.

Гельфанд учил, что, чтобы таки допрыгнуть до трамвая, надо ходить на семинары, заведомо непонятные, и самостоятельно пытаться разобраться в том, что там происходит. Именно таким образом люди (кому повезет) осваивали материалы года обучения с третьего по пятый мною обозначенной программы (материал пятого года, конечно, тогда не весь существовал; вместо него были модули Верма и ББГ-резольвента, сейчас, видимо, неактуальные).

В последние 10 лет ситуация отчасти параллельна мною описанной. Имеются две конкурирующие программы: университетская (которая с 1980-х не изменилась, а только сократилась немного - скажем, спектральные последовательности в ней были, а сейчас их нет), и альтернативная, которой занимаются в Независимом Университете и в ИТЭФе.

Но есть существенная разница - люди, которые понимают о чем идет речь в математической литературе (типа, в http://arxiv.org) в основном уехали; в результате, охват альтернативной системы сократился с середины третьего года обучения по Гельфанду и Манину до середины второго. При этом никаких ориентиров в плане дальнейшего самообразования студент не получает. Колоссальный барьер между обучением на студенческих семинарах и чтением научной литературы, который требовалось преодолевать самообразованием, увеличился с 2 лет до 4 и стал непреодолим. Вместо пропасти, второй край которой отчасти просматривается, мы имеем черную дыру, которая поглощает каждого, кто к ней приблизится.

У нас нет учебных заведений, где мою программу обучения можно было бы использовать; но смысл в ней тем не менее есть. Смысл ее - в установлении приоритетов и ориентиров. Конечно, нет у нас студентов, которые в школе учат теорию Галуа и гомотопическую топологию, а на втором курсе постигли классифицирующие пространства и характеристические классы. Не то чтобы их не может быть в принципе - во времена семинаров Гельфанда и Манина такие студенты были - но факт состоит в том, что сейчас их нет; и не будет никогда, если интеллектуальный климат останется таким, как сейчас, и если мы не приложим усилий к его изменению. Программа, мною выше приведенная - есть не данность, а идеал, к которому необходимо стремиться.

Студенту, если он хочет чему-нибудь выучиться, полезно время от времени поглядывать на описанный куррикулум; и сообразовать свое обучение с этой программой. Иначе кердык.

Список полезных книжек по математике

наверх


Лиценцинат НМУ

Положение о лиценциате НМУ

Наряду с обычными дипломами НМУ, выдаваемым в соответствии с установленной практикой и по окончании полного курса обучения, в НМУ вводится диплом промежуточной степени, называемый "диплом лиценциата НМУ".

  1. Диплом лиценциата выдается всем, кто овладел программой лиценциата — утвержденным списком стандартных минимальных знаний, ожидаемых от студентов НМУ по окончании двух лет обучения.
  2. Получение диплома лиценциата не является обязательным условием для дальнейшего обучения в НМУ и не требуется для получения диплома НМУ. Диплом и программа лиценциата НМУ вводятся для того, чтобы

    а. Предоставить студентам НМУ возможность оценить свои знания примерно посередине полного курса, и, при необходимости, скорректировать свое дальнейшее образование тогда, когда сделать это еще достаточно просто.

    б. Предоставить возможность учиться в НМУ, с конкретным результатом в виде диплома лиценциата, тем студентам, которые по тем или иным причинам не заинтересованы в прохождении полного курса.

    в. Зафиксировать набор базовых знаний, которые преподаватели 3-5 курсов имеют право считать известными.

  3. Студенты НМУ, сдавшие на "отлично" 12 экзаменов по обязательным курсам первых двух лет обучения, получают диплом о лиценциате без дополнительных условий. Остальным соискателям диплом лиценциата выдается по результатам собеседования. Соискатели, сдавшие 12 экзаменов по обязательным курсам первых 2х лет обучения в НМУ, допускаются к собеседованию автоматически. Соискатели, не сдавшие экзамены по каким-либо из обязательных курсов, допускаются к собеседованию после сдачи дополнительных экзаменов, назначаемых им по каждому из несданных предметов и проводимых той же комиссией, что и основное собеседование.

    Собеседование назначается решением правления НМУ, по просьбе соискателя, переданной через учебную часть. Проводится оно комиссией из предподавателей НМУ, назначаемой также правлением. Правление имеет право отказать соискателю, если он/она уже пытались пройти собеседование два раза и не преуспели.

  4. Дополнительный экзамен, предусмотренный в п. 3, проводится по утвержденной программе лиценциата. Проведение нескольких экзаменов одновременно и совмещение их с собеседованием допускается, по усмотрению комиссии, но не в ущерб качеству каждого из экзаменов. Экзамен не засчитывается как экзамен по курсу НМУ.
  5. Утвержденная программа лиценциата доводится до сведения студентов, публикуется в доступном виде на сайте НМУ, и снабжается подробными библиографическими ссылками.

    Программа лиценциата

    [Gzipped postscript (57K)|Zipped postscript (57K)]

    наверх


    The Qualifying Exam Syllabus

    The Qualifying Exam Syllabus
    The questions on the qualifying exam aim to test your ability to solve concrete problems by identifying and applying important theorems. They should not require great ingenuity. In any given year, the exam may not cover every topic on the syllabus, but it should cover a broadly representative set of quals/topics and over time all quals/topics should be examined.

    The syllabus is divided into six areas. In each case, we suggest (sections of) a book to more carefully define the syllabus. The examiners are asked to limit their questions to major quals/topics covered in (these sections of) these books. We have tried to choose books we think are good. However there are many good books and others might better suit your needs. In each case we divide the syllabus into two sections. Section U is material, which are usually covered in our undergraduate, not our graduate, courses. Section G is material usually taught at the graduate level. Where appropriate, we list courses that cover some of this material.

    1) Algebra.
    • U: Dummit+Foote, Abstract Algebra, except chapters 15, 16 and 17. (math 122, 123)
    		 2) Algebraic Geometry
    • G: Harris, Algebraic geometry, a first course, lectures 1-7, 11, 13,14, 18. (math 137 and math 232a)
    		 3) Complex Analysis
    (Table of contents)
    • U: Ahlfors, Complex Analysis (2nd ed), chapters 1-4 and section 5.1. (math 113)
    • G: Ahlfors, Complex Analysis (2nd ed), chapter 5 and section 6.1 and 6.2 (math 213a)
    4) Algebraic Topology Online version of Hatcher.
    • U: Hatcher, Algebraic Topology, chapter 1 (but not the additional quals/topics). (math 131)
    • G: Hatcher, Algebraic Topology, chapter 2 (including additional quals/topics) and chapter 3 (without additional topics). (math 231a)
    		 5) Differential Geometry
    (Table of contents)
    • U: Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, sections VII.1 , VIII.1 and VIII.2. (math 136)
    • G: Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, chapters I-V and VII. (math 132 and 230a)
    		 6) Real Analysis
    • U: Royden, Real Analysis 3rd ed) chapters 1-10. (math 114).
    • G: Rudin, Real and Complex Analysis, chapters 1-9. (math 212a)
    • (Stein and Shakarchi, `Real Analysis: measure theory, integration and Hilbert spaces' may also be a good source for some of this material.)


    наверх


    Список от Д.Каледина

    References

    Литература к курсу "Введение в алгебраическую геометрию"

    Коммутативная алгебра, она же -- аффинная алгебраическая геометрия

    • М. Атья, И. Макдональд, "Введение в коммутативную алгебру", пер. Ю.И. Манин (М. 1972, имеется дорогое переиздание 2003 года издт-ва Факториал, было и пиратское ротапринтное переиздание).
      • [djvu, 1.3 MB]
      • Эту книжку необходимо проработать, лучше всего целиком, и решить все упражнения. Авторы -- известные математики, но *не* специалисты по коммутативной алгебре; поэтому в книжке нет ровно ничего лишнего. Единственный ее недостаток -- это что наоборот, про некоторые необходимые вещи там ничего нет.
    • H. Matsumura, "Commutative Ring Theory", trans. from Japanese by M. Reid (Cambridge Univ. Press 1986).
      • [djvu, 4.6 MB]
      • Тоже довольно хороший учебник. Мацумура по профессии алгебраист, поэтому здесь есть все, что нужно, и кое-что, без можно и прожить (какие-то его любимые темы, для общей публики ненужные и т.д.). Целиком это изучать не надо, но если вы можете эту книгу найти, она будет хорошим дополнением к Атье-Макдональду.
    • H. Matsumura, "Commutative Algebra", second ed., 1980.
      • [djvu, 2.0 MB]
      • Более старая книга Мацумуры, ориентированная на приложения к алгебраической геометрии. Тоже довольно полезна.
    • D. Eisenbud, "Introduction to Commutative Algebra" (готовится русский перевод).
      • [djvu, 7.6 MB]
      • Современный прагматичный американский учебник -- есть все, что реально применяется в алгебраической геометрии, с примерами как его применять и зачем; довольно приземленная книга в стилистике "how-to". Толстая. При этом Айзенбад, как и Мацумура -- известный и хороший алгебраист, так что отбор материала разумный. Единственное, что я бы исключил -- это назойливые описания "компьютерной алгебры", базисов Гребнера и прочих способов с помощью компьютера написать бессмысленную статью (к счастью, в наших условиях у людей меньше стимулов писать бессмысленные статьи).

    Собственно алгебраическая геометрия

    • Р. Хартсхорн, "Алгебраическая геометрия" (М. 1981, были переиздания).
      • [djvu, 6.1 MB]
      • Это стандартный учебник. Он даже и не безумно хороший, некоторые темы Хартсхорн просто сам не понимает и пропустил, другие не смог внятно изложить. Но книга заняла нишу, и последние 25 лет по ней все учатся. Необходимый материал это главы 2 и 3 (глава 1 это введение, изложенное без техники схем -- на мой вкус, совершенно невнятное; главы 4 и 5 -- применение общей техники конкретно к алгебраическим кривым и поверхностям, в других местах то же изложено лучше). Необходимо также прорешать в главах 2 и 3 все упражения (это даже важнее, чем прочитать основной текст).
    • И.Р. Шафаревич, "Введение в алгебраическую геометрию" (было несколько изданий, переработанных; начиная с некоторого момента -- в двух томах).
      • Единственная альтернатива Хартсхорну. От Шафаревича, как вы наверное знаете, происходит вся отечественная алгебраическая геометрия и большая часть теории чисел. Книжка очень хорошая, хотя немного идиосинкратическая. В свое время это была библиографическая редкость, поэтому я учился по Хартсхорну; может быть и зря.
    • Ф. Гриффитс и Дж. Харрис, "Принципы алгебраической геометрии"
      • Это подробное введение в алгебраическую геометрию над C, написанное с точки зрения комплексного анализа, и с применением соответствующей техники. Тоже совершенно стандартный учебник, по этой теме. В нашем курсе мы будем работать в чисто алгебраической технике и на гротендиковском языке схем, так что к нам эта книга отношения не имеет; но про ее существование надо знать, и все, что в ней изложено, тоже надо будет со временем изучить (даже если вы занимаетесь не алгебраической геометрией а, например, теорией струн).
    • Дж. Харрис, "Алгебраическая геометрия -- начальный курс" (М., издт-во MCCME, 2005)
      • Эта книга для тех, кто устал от абстрактной общей техники. Здесь на максимально простом языке изложены многие -- на удивление многие -- конструкции и примеры. Харрис многие годы отвечает в Гарварде за работу с аспирантами, и большой мастер объяснять сложные вещи простыми наглядными соображениями (а также, получать из простых наглядных соображений сложные неожиданные теоремы).
    • Д. Мамфорд, "Лекции о кривых на алгебраической поверхности"
      • [djvu, 1.6 MB]
      • Это книга уже классическая. Найти ее нельзя, переизданий кажется не было, но в электронном виде она доступна. Мамфорд -- один из первых последователей Гротендика, а эта книга -- одна из первых попыток дать введение в язык схем. Вместо того, чтобы писать общее энциклопедическое введение, Мамфорд сделал так: нашел одну конкретную задачу, достаточно классическую, но такую, что для аккуратного решения действительно нужны новые гротендиковские понятия -- и построил изложение вокруг этой задачи. Книга получилась довольно тонкая, но крайне насыщенная; читать ее трудно, приходится каждую страницу разбирать, но очень полезно.
      наверх